Не был установлен модуль "Диск". То, что без него никак, выяснилось [b]вообще случайно[/b] (в целом он нам нужен как собаке пятая нога): не работали шаблоны задач, ругаясь на его отсутствие. После его установки резко изменилась панель загрузки файлов и файлы перестали грузиться. Вообще.
Техподдержка была совершенно бесполезна: сначала сутки думала, потом сказала, что у меня якобы "нестандартное отображение контекстного окна для загрузки вложений", после того, как я проверил (ну мало ли), что это не так — думает по сию пору.