С проблемой разобрался. Оказалось, все дело в политике mail.ru, а именно – протоколе DMARC, который защищает владельцев сайтов от мошеннических рассылок. Нужно было всего-навсего в шаблоне письма указать в строке "От кого" почту с доменом, не принадлежащим mail-group. В моем случае, я указал info@clever-kids.ru (до этого стоял clever-kids.ru, который совпадал с адресатом для данных формы). Причем, необязательно заводить этот ящик.
Борис, спасибо за ссылку. Пробовал проходить эти шаги и тоже узнал кое-что полезное.
Борис, спасибо за ссылку. Пробовал проходить эти шаги и тоже узнал кое-что полезное.