Через форум наверное невозможно что-то еще посоветовать. Разве что - проверяйте еще раз. Такую проблему нужно отслеживать вживую, имея доступ от администратора и FTP.
Да в принципе с этими куками все понятно по смыслу. Можете проверять, совпадает ли логическое понимание каждой куки с ее предназначением. Хотя LAST_SETTINGS и BX_USER_ID ранее не встречал. WEBSLON_PROMO_CODE и возможно user_profile_open - это от сторонних разработок.
Если делаете рез. копию в облако - она должна появиться и на старой рез. копии. Но объем такой копии больше, и скачиваться будет чуть дольше. Вообще, люди для таких целей используют git, хотя я сам так все и не начну никак его использовать.
Через init.php можно, пробуйте. Если файла нет - создайте его. В модулях механизм совсем другой. Они используют обработчики, не записывая их в init.php - их обработчики записаны в БД, а вот меню генерируется без обработчиков - за это отвечает файл admin/menu.php в модуле.
Вариантов несколько - или разрабатывать пути типа /catalog/product/1111/ или же в component_epilog.php проверять "настоящий" URL товара, и если сейчас открыт не тот, то перенаправлять на правильный URL. Думаю, есть и другие варианты.