set_cookie

Никогда не оставляйте domain = false - это верный путь получить при разных конфигурациях разное поведение.
Если у вас в настройках сайтов прописаны домены - кука будет устанавливаться с указанием домена. В JS такую куку можно будет переопределить только указывая домен (что не всегда удобно).